【題目】如圖，在□ABCD 中，∠ADB=90°，點 E 為 AB 邊的中點，點 F 為CD 邊的中點．
（1）求證：四邊形 DEBF 是菱形；
（2）當∠A 等于多少度時，四邊形 DEBF 是正方形？并說明你的理由．
【答案】見解析
【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四邊形DEBF是平行四邊形，求出DE=BE，根據菱形的判定得出即可；
（2）求出AD=BD，根據等腰三角形的性質得出DE⊥AB，根據正方形的判定得出即可．
試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC=AB．∵點E為AB邊的中點，點F為CD邊的中點，∴DF∥BE，DF=BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形．∵∠ADB=90°，點E為AB邊的中點，∴DE=BE=AE，∴四邊形DEBF是菱形；
（2）當∠A=45°，四邊形DEBF是正方形．理由如下：
∵∠ADB=90°，∠A=45°，∴∠A=∠ABD=45°，∴AD=BD．∵E為AB的中點，∴DE⊥AB，即∠DEB=90°．∵四邊形DEBF是菱形，∴四邊形DEBF是正方形．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】郵遞員騎車從郵局出發，先向西騎行 2 km 到達 A 村，繼續向西騎行 3 km 到達 B 村， 然后向東騎行 9 km 到達 C 村，最后回到郵局.
(1)以郵局為原點，以向東方向為正方向，用 1 cm 表示 1 km 畫數軸，并在該數軸上表示 A，B，C 三個村莊的位置；
(2)C 村離 A 村有多遠？
(3)郵遞員一共騎行了多少千米？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋（如圖 
），水面寬 
時，水面離橋孔頂部 
，因降暴雨水面上升 
．
（1）建立適當的坐標系，并求暴雨后水面的寬；（結果保留根號）
（2）一艘裝滿物資的小船，露出水面的部分高為 
，寬 
（橫斷面如圖 
所示），暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過嗎?
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】用火柴棒按下列方式搭建三角形：
（1）當三角形個數為1時，需3根火柴棒；當三角形個數為2時，需5根火柴棒；則當三角形個數為100時，需火柴棒 根；當三角形個數為n時，需火柴棒 根（用含n的代數式表示）；
（2）當火柴棒的根數為2019時，求三角形的個數？
（3）組成三角形的火柴棒能否為1000根，如果能，求三角形的個數；如果不能，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】【操作發現】如圖 1，△ABC 為等邊三角形，點 D 為 AB 邊上的一點，∠DCE=30°，將線段 CD 繞點 C 順時針旋轉 60°得到線段 CF，連接 AF、EF. 請直接 寫出下列結果：
① ∠EAF的度數為__________；
② DE與EF之間的數量關系為__________；
【類比探究】如圖 2，△ABC 為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點 D 為 AB 邊上的一點∠DCE=45°，將線段 CD 繞點 C 順時針旋轉 90°得到線段 CF，連接 AF、EF.
①則∠EAF的度數為__________；
② 線段 AE，ED，DB 之間有什么數量關系？請說明理由；
【實際應用】如圖 3，△ABC 是一個三角形的余料.小張同學量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在邊 BC 上取了 D、E 兩點，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，這樣 CD、CE 將△
ABC 分成三個小三角形，請求△BCD、△DCE、△ACE 這三個三角形的面積之比.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小華思考解決如下問題：
原題：如圖1，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ．
（1）小華進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉得到∠EAF，使AE⊥BC，點E、F分別在邊BC、CD上，如圖2．此時她證明了AE＝AF，請你證明；
（2）由以上（1）的啟發，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F．請你繼續完成原題的證明；
（3）如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60°，如圖1，求四邊形APCQ的周長的最小值.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b與反比例函數y=
（m≠0）的圖象交于點A（3，1），且過點B（0，﹣2）．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）如果點P是x軸上一點，且△ABP的面積是3，求點P的坐標．
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