Question

（1）已知：點（x，y）在直線y=-x+1上，且x²+y²=2，求x⁷+y⁷的值．
（2）計算：

2007

( 2007 - 2008 )( 2007 - 2009 )

+

2008

( 2008 - 2009 )( 2008 - 2007 )

+

2009

( 2009 - 2008 )( 2009 - 2007 )

（3）已知a、b、c是直角三角形△ABC的角A、B、C所對的邊，∠C=90°．求：

1

a+b+c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

+

1

c-a-b

的值．

Answer 1

分析：（1）根據點（x，y）在直線y=-x+1上，得出x+y=1，進而求出xy的值，再利用因式分解法求出x⁷+y⁷的值；
（2）首先設

2007

=x，

2008

=y，

2009

=z，再替換后整理得出即可；
（3）將原式分組進行計算，再利用三角形三邊關系求出即可．

解答：解：（1）∵x2+y2=2?1=(x+y)2=x2+y2+2xy=2+2xy?xy=-

1

2

，
∴x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=1-3×(-

1

2

)=

5

2

x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=4-2(-

1

2

)2=

7

2

，
∴x7+y7=(x3+y3)(x4+y4)-x3y3(x+y)=

5

2

×

7

2

-(-

1

2

)3×1=

71

8

；

（2）設

2007

=x，

2008

=y，

2009

=z，
則原式=

x

(x-y)(x-z)

+

y

(y-x)(y-z)

+

z

(z-x)(z-y)

=

x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)

(x-y)(y-z)(x-z)

=0；

（3）原式=(

1

a+b+c

+

1

c-a-b

)+(

1

b+c-a

+

1

c+a-b

)=

2c

c2-(a+b)2

+

2c

c2-(a-b)2

=

2c

c2-a2-b2-2ab

+

2c

c2-a2-b2+2ab

=

c

-ab

+

c

ab

=0．

點評：此題主要考查了勾股定理以及一次函數圖象上點的特征以及因式分解的應用和換元法解方程等知識，根據已知選擇正確的計算方法是解題關鍵．