Question

如圖1所示，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．
（1）請問用這兩個圖可以驗證公式法因式分解中的哪個公式？
（2）若圖1中的陰影部分的面積是12，a-b=3，求a+b的值；
（3）試利用這個公式計算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

Answer 1

分析：（1）根據兩個圖形的面積相等，即可寫出公式；
（2）根據a²-b²=（a+b）（a-b）=12，把a-b的值代入即可求得a+b的值；
（3）從左到右依次利用平方差公式即可求解．

解答：解：（1）a²-b²=（a+b）（a-b）；

（2）①依題意可得：a²-b²=12
∴a²-b²=（a+b）（a-b）=12
∵a-b=3∴a+b=4；

②原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1
=（2³²-1）（2³²+1）+1
=2⁶⁴-1+1
=2⁶⁴．

點評：本題考查了平方差的幾何背景以及平方差公式的應用，正確理解平方差公式的結構是關鍵．