Question

【題目】如圖，已知拋物線的圖象經過點、和原點，為直線上方拋物線上的一個動點．

（1）求直線及拋物線的解析式；

（2）過點作軸的垂線，垂足為，并與直線交于點，當為等腰三角形時，求的坐標；

（3）設關于對稱軸的點為，拋物線的頂點為，探索是否存在一點，使得的面積為，如果存在，求出的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為，二次函數的解析式是；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）先將點A代入求出OA表達式，再設出二次函數的交點式，將點A代入，求出二次函數表達式；

（2）根據題意得出當為等腰三角形時，只有OC=PC，設點D的橫坐標為x，表示出點P坐標，從而得出PC的長，再根據OC和OD的關系，列出方程解得；

（3）設點P的坐標為，根據條件的觸點Q坐標為，再表示出的高，從而表示出的面積，令其等于，解得即可求出點P坐標.

解：（1）設直線的解析式為，

把點坐標代入得：，

直線的解析式為；

再設，

把點坐標代入得：，

函數的解析式為，

∴直線的解析式為，二次函數的解析式是．

（2）設的橫坐標為，則的坐標為，

∵為直線上方拋物線上的一個動點，

∴．

此時僅有，，

∴，解得，

∴；

（3）函數的解析式為，

∴對稱軸為，頂點，

設，

則，到直線的距離為，

要使的面積為，

則，即，

解得：或，

∴或．