Question

【題目】如圖，已知一次函數y=ax+b（a，b為常數，a≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數（k為常數，k≠0）的圖象在第二象限內交于點C，作CD⊥x軸于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）觀察圖象直接寫出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y軸上是否存在點P，使得△PBC是以BC為一腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）

【解析】

（1）根據平行線分線段成比例性質可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系數法求解；（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC兩種情況.

解：（1）∵CD⊥OA，

∴DC∥OB，

∴，

∴CD=2OB=8，

∵OA=OD=OB=3，

∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），

把A、B兩點的坐標分別代入y=ax+b可得

，解得，

∴一次函數解析式為，

∵反比例函數y=的圖象經過點C，

∴k=-24，

∴反比例函數的解析式為y=-

（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍，

即線段BC（包含C點，不包含B點）所對應的自變量x的取值范圍，

∵C（-3，8），

∴0＜-x+4≤-的解集為-3≤x＜0

（3）∵B（0，4），C（-3，8），

∴BC=5，

∵△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，

∴有BC=BP或BC=PC兩種情況，

①當BC=BP時，即BP=5，

∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，

∴P點坐標為（0，9）或（0，-1）；

②當BC=PC時，則點C在線段BP的垂直平分線上，

∴線段BP的中點坐標為（0，8），

∴P點坐標為（0，12）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）