Question

如圖所示，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D點，OC交AB于E點．
（1）求∠D的度數；
（2）求證：AC²=AD•CE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧為同一條弧，根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由∠ABC的度數求出∠AOC的度數，再由OA=OC，根據等邊對等角，由頂角∠AOC的度數，利用三角形的內角和定理求出底角∠ACO的度數，再由∠BAC及∠ABC的度數，求出∠ACB的度數，由∠ACB-∠ACO求出∠BCE的度數，由OC與AD平行，根據兩直線平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度數；
（2）由∠ACB的度數，利用鄰補角定義求出∠ACD的度數，再由∠AEC為三角形BEC的外角，利用外角性質得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度數，進而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度數，求出∠CAD的度數，可得∠CAD=∠ACE，利用兩對對應角相等的三角形相似可得三角形AEC與三角形DCA相似，根據相似三角形的對應邊成比例可得證．
解答：解：（1）連接OA，如圖所示：

∵圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧都為，
∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，
∴∠AOC=30°，
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA==75°，
又∠BAC=45°，∠ABC=15°，
∴∠ACB=120°，
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-75°=45°，
又OC∥AD，
∴∠D=∠OCB=45°；
（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，
∴∠AEC=60°，
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，
∴∠AEC=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠ACD=60°，
∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，
∴∠CAD=∠OCA=75°，
∴△ACE∽△DAC，
∴=，即AC²=AD•CE．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，以及三角形的內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．