Question

如圖△ABC為等邊三角形，P為BC上一點，△APQ為等邊三角形．
（1）求證：AB∥CQ．
（2）是否存在點P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，根據平行線的判定推出即可；
（2）根據全等三角形性質得出∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，求出PC=CQ，求出∠CQP的度數，求出∠AQC即可．

解答：（1）證明：∵△ABC和△APQ都是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，
∴AB∥CQ；

（2）存在點P使得AQ⊥CQ，當P為BC中點時符合，理由是：
∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，
∵P為BC中點，
∴PC=BP=CQ，
∴∠CQP=∠QPC=

1

2

（180°-∠PCQ）=

1

2

×（180°-60°-60°）=30°，
∵△APQ是等邊三角形，
∴∠AQP=60°，
∴∠AQC=60°+30°=90°，
∴AQ⊥QC，
即存在點P使得AQ⊥CQ，當P為BC中點時符合．

點評：本題考查了垂直定義，全等三角形的性質和判定，平行線的判定，等邊三角形的性質等知識點的綜合運用．