Question

如圖所示，已知OABC是-張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，且0A=15，0C=9，在邊AB上選取-點D，將△AOD沿OD翻折，使點A落在BC邊上，記為點E．

（1）求DE所在直線的解析式；

（2）設點P在x軸上，以點O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形，問這樣的點P有幾個？并求出所有滿足條件的點P的坐標；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使四邊形MNED的周長最小?如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）y=-x+25；（2）有四個：P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；（3）5+5

【解析】

試題分析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立關于DE的方程求解；

（2）分四種情況：在x的正半軸上，OP=OE時；在x的負半軸上，OP=OE時；EO=EP時；OP=EP時，分別可以求得點P對應的點的坐標；

（3）作點D關于x的對稱點D′，點E關于y軸的對稱點E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點N、點M，則點M、N是所求得的點，能使四邊形的周長最小，周長且為E′D′+ED．

試題解析：（1）由題意知，OE=OA=15，AD=DE，

在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=，

∴BE=BC-CE=15-12=3

在Rt△BED中，由勾股定理知：AD2=DE2=BE2+BD2，即DE2=（9-DE）2+32，

解得DE=5，

∴AD=5

∴D（15，5），E（12，9）

設DE直線的解析式為y=kx+b，

∴

解得k=-，b=25

∴DE直線的解析式為y=-x+25；

（2）當在x的正半軸上，OP1=OE=15時，點P1與點A重合，則P1（15，0）；

當在x的負半軸上，OP2=OE=15時，則P2（-15，0）；

當OE=EP3時，作EH⊥OA于點H，有OH=CE=HP3=12，則P3（24，0）；

當OP4=EP4時，由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2，即（12-P4E）2+92=P4E2

解得OP4=EP4=，即P4（，0）；

∴滿足△OPE為等腰三角形的點有四個：

P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；

（3）作點D關于x的對稱點D′，點E關于y軸的對稱點E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點N、點M，則點M、N是所求得的點．

在Rt△BE′D′中，D′E′=

∴四邊形DENM的周長=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5

考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.待定系數法求-次函數解析式；3等腰三角形的判定；4.正方形的性質．