Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為A，B，與y軸交于C．

（1）求拋物線的對稱軸和點C坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．拋物線在點A，B之間的部分與線段所圍成的區域為圖形W（不含邊界）．

①當時，求圖形W內的整點個數；

②若圖形W內有2個整數點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為，；（2）①1個；②．

【解析】

（1）先根據二次函數的對稱軸可得其對稱軸，再令，求出y的值，從而可得出點C坐標；

（2）①先得出拋物線的解析式，再畫出圖象，結合圖象和整點的定義即可得；

②先將二次函數的解析式化為頂點式，求出其頂點坐標，再結合圖象，找出兩個臨界位置，分別求出m的值，由此即可得出答案．

（1）拋物線的對稱軸為

令得：

則點C坐標為；

（2）①當時

，畫出其圖象如下所示：

結合圖象和整點的定義可得：圖形W內的整點只有1個，即點；

②將拋物線化為頂點式

則拋物線的頂點坐標為，且圖象經過定點

結合圖象可知，若圖形W內的整點有2個，則這兩個整點只能是

因此有兩個臨界點：拋物線頂點為和拋物線頂點為

當拋物線頂點為時，，解得

當拋物線頂點為時，，解得

則m的取值范圍為．