Question

如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．本題可根據等腰三角形中兩底角相等，將相等的角進行適當的轉換，即可證得OD⊥DE；
（2）求DG就是求DF的長，在直角三角形DFO中，有OD的值，∠DOF的值也容易求得，那么DG的值就求得了．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=2．
∵直徑AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=4．
點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．