Question

已知：如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，DE是⊙O的切線，過點D作DG⊥AB交圓于點G，
（1）求證：DE⊥BC；
（2）若tan∠C=，BE=2，求弦DG的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，如圖，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC，
∴DE⊥BC；

（2）解：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵BA=BC，
∴AD=DC，
∴BD平分∠ABC，而DG⊥AB，
∴FB=BE=2，
Rt△DFB中，
∴∠FDB=90°-∠ABD=90°-∠CBD=∠C，
∴DG=2DF=．
分析：（1）連接OD，根據切線的性質得OD⊥DE，而∠A=∠ADO，BA=BC，得∠A=∠C，則∠ADO=∠C，得到DO∥BC，即可得到結論；
（2）連接BD，由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，而DG⊥AB，得到DE=EG，∠FDB=∠A=∠C，利用三角函數的定義得到DG=2DF=．
點評：本題考查了切線的性質：圓心與切點的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了平行線的性質以及三角形函數的定義．