Question

（2013•菏澤）已知：關于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整數）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設y=x₂-x₁-2，判斷y是否為變量k的函數？如果是，請寫出函數解析式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的定義得到k≠0，再計算出判別式得到△=（2k-1）²，根據k為整數和非負數的性質得到△＞0，則根據判別式的意義即可得到結論；
（2）根據根與系數的關系得x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，則根據完全平方公式變形得
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，
由于k為整數，則2-

1

k

＞0，所以x₂-x₁=2-

1

k

，則y=2-

1

k

-2=-

1

k

．

解答：（1）證明：根據題意得k≠0，
∵△=（4k+1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
而k為整數，
∴2k-1≠0，
∴（2k-1）²＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；
（2）解：y是變量k的函數．
∵x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，
∵k為整數，
∴2-

1

k

＞0，
而x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=2-

1

k

，
∴y=2-

1

k

-2
=-

1

k

（k≠0的整數），
∴y是變量k的函數．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．