Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫出邊CD上A， B兩點的勾股點的個數

（3 如圖2，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝4，DP=4，DM＝8，AN＝5．過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．求PH的長．

【解析】（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點；

（2）利用（1）中圖形得出C，D，E，F即可得出答案；

（3）求出MN的長度，根據勾股數的特點得出符合要求的點

 

Answer 1

【答案】

（1）尺規作圖正確（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點）（2）4個．

（3）如圖，

∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．

過點P作直線l平行于BC，點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上，

∴ME=4，NE=3，

∴MN=5，

PM=4，PH=2時，HM=構成勾股數，

同理可得：

PH″=或PH=2或PH′=3．