Question

如圖，梯形ABCD的對角線相交于點O，有如下結論：①△AOB∽△COD，②△AOD∽△BOC，③S_△AOD=S_△BOC，④S_△COD：S_△AOD=DC：AB；其中一定正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行驗證，從而得到最后答案．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，故①正確；
∴S_△COD：S_△BOA=CO：OA=CD：AB，故④正確；
設梯形ABCD的高為h，則S_△ABD=•AB•h，S_△ABC=•AB•h，
∴S_△ABC=S_△ABD，
∴S_△AOD=S_△BOC，故③正確；
在△AOD與△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一對角相等，也不能說明夾此角的兩邊對應成比例，故②錯誤．
故結論始終正確的序號是①③④，共3個．
故選C．
點評：此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．相似三角形的對應高、對應中線，對應角平分線的比等于相似比；相似三角形的周長比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方．