Question

如圖，梯形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ADO的面積記作S₁，△BCO的面積記作S₂，△ABO的面積記作S₃，△CDO的面積記作S₄，則下列關系正確是（　　）

• A、S₁=S₂
• B、S₁×S₂=S₃×S₄
• C、S₁+S₂=S₄+S₃
• D、S₂=2S₃

Answer 1

分析：首先作出高線，利用高與梯形的上、下底即可表示出三角形的面積，即可作出判斷．

解答：解：A、∵AD∥BC
∴△AOD∽△BOC
兩個三角形的相似比是：

AD

BC

≠1，則S₁=S₂一定不成立．故A錯誤；
B、S₁=

1

2

AD•OE，S₂=

1

2

BC•OF，S₃=

1

2

AD•EF=AD（OE+OF）-S₁=

1

2

AD（OE+OF）-

1

2

AD•OE=

1

2

AD•OF，
S₄=BC•EF=BC（OE+OF）-S₂=BC（OE+OF）-BC•OF=BC•OE
∴S₁•S₂=AD•OE•BC•OF，S₃•S₄=AD•OF•BC•OE
∴S₁×S₂=S₃×S₄
故B正確；
S₁+S₂=AD•OE+BC•OF，而S₃+S₄=AD•OF+BC•OE，故C錯誤；
D、S₁=AD•OE，S₃=AD•EF=AD（OE+OF）-S₁=AD（OE+OF）-AD•OE=AD•OF，OF=2OE不一定成立，故D錯誤．
故選B．

點評：本題主要考查了梯形的性質，以及相似三角形的判定與性質，正確表示出各個三角形的面積是解題的關鍵．