Question

如圖，大樓AB的高為16米，遠處有一塔CD，小明在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°．其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，求：
（1）塔CD的高度；
（2）若將題目中的數據16米、60°、45°分別改為m米、∠α、∠β（α＞β），請用含m、α、β的式子表示塔CD的高度．

Answer 1

分析：首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及兩個直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分別計算，可得到一個關于AC的方程，從而求出DC．

解答：解：（1）作BE⊥CD于E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
則有CE=AB=16，AC=BE．
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=

3

AC．
∵16+DE=DC，
∴16+AC=

3

AC，
解得：AC=8

3

+8=DE．
所以塔CD的高度為（8

3

+24）米；

（2）根據（1）得：Rt△BED中，DE=BE=AC•tanβ，
Rt△DAC中，CD=ACtanα，
∵AB=CD-DE=m，
∴AC•tanα-AC•tanβ=m，
解得：AC=

m

tanα-tanβ

．
則CD的高度是：

m•tanα

tanα-tanβ

．

點評：本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．