Question

（2012•天門）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數），點B在線段AC上，在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當AB=1時，△AME的面積記為S₁；當AB=2時，△AME的面積記為S₂；當AB=3時，△AME的面積記為S₃；…當AB=n時，△AME的面積記為S_n．當n≥2時，S_n-S_n-1=

2n-1

2

．

Answer 1

分析：方法一：根據連接BE，則BE∥AM，利用△AME的面積=△AMB的面積即可得出S_n=

1

2

n²，S_n-1=

1

2

（n-1）²=

1

2

n²-n+

1

2

，即可得出答案．
方法二：根據題意得出圖象，根據當AB=n時，BC=1，得出S_n=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，得出S與n的關系，進而得出當AB=n-1時，BC=2，S_n-1=

1

2

n²-n+

1

2

，即可得出S_n-S_n-1的值．

解答：解：方法一：連接BE．
∵在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME與△AMB同底等高，
∴△AME的面積=△AMB的面積，
∴當AB=n時，△AME的面積記為S_n=

1

2

n²，
S_n-1=

1

2

（n-1）²=

1

2

n²-n+

1

2

，
∴當n≥2時，S_n-S_n-1=

2n-1

2

，
方法二：如圖所示：延長CE與NM，交于點Q，
∵線段AC=n+1（其中n為正整數），
∴當AB=n時，BC=1，
∴當△AME的面積記為：
S_n=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=n（n+1）-

1

2

×1×（n+1）-

1

2

×1×（n-1）-

1

2

×n×n，
=

1

2

n²，
當AB=n-1時，BC=2，
∴當△AME的面積記為：
S_n-1=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=（n+1）（n-1）-

1

2

×2×（n+1）-

1

2

×2×（n-3）-

1

2

×（n-1）（n-1），
=

1

2

n²-n+

1

2

，
∴當n≥2時，S_n-S_n-1=

1

2

n²-（

1

2

n²-n+

1

2

）=n-

1

2

=

2n-1

2

．
故答案為：

2n-1

2

．

點評：此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質，根據已知得出正確圖形，得出S與n的關系是解題關鍵．