Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2bx+c
（1）若拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），求b，c的值；
（2）若b+c=0，是否存在實數x，使得相應的y的值為1，請說明理由；
（3）若c=b+2且拋物線在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=x2﹣2bx+c

∴a=1，

∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），

∴y=（x﹣2）2﹣3，

∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，

∴b=2，c=1；

（2）解：由y=1得 x2﹣2bx+c=1，

∴x2﹣2bx+c﹣1=0

∵△=4b2+4b+4=（2b+1）2+3＞0，

則存在兩個實數，使得相應的y=1；

（3）解：由c=b+2，則拋物線可化為y=x2﹣2bx+b+2，其對稱軸為x=b，

①當x=b≤﹣2時，則有拋物線在x=﹣2時取最小值為﹣3，此時

﹣3=（﹣2）2﹣2×（﹣2）b+b+2，解得b=﹣ ，不合題意；

②當x=b≥2時，則有拋物線在x=2時取最小值為﹣3，此時

﹣3=22﹣2×2b+b+2，解得b=3，

③當﹣2＜b＜2時，則 =﹣3，化簡得：b2﹣b﹣5=0，解得：

b1= （不合題意，舍去），b2= ．

綜上：b=3或 ．

【解析】（1）根據題意得到拋物線為y=（x﹣2）2﹣3，整理成一般式即可求得b，c的值；（2）令y=1，判斷所得方程的判別式大于0即可求解；（3）求得函數的對稱軸是x=b，然后分成b≤﹣2，﹣2＜b＜2和b≥2三種情況進行討論，然后根據最小值是﹣3，即可解方程求解．
【考點精析】利用二次函數的性質和二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。蝗绻�自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．