Question

關于x的方程有兩個實數根．（包括兩個相等實數根）
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
（3）若y=k（3+k）（x₁+x₂），k為自變量，用k表示y并求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據有兩個實數根得到其根的判別式大于等于零，同時還應注意二次項系數；
（2）假設存在，利用兩實數根的倒數和為0求得k值即可；
（3）利用求二次函數最值的方法即可求得y的最大值；
解答：解：（1）由題意可知，k≠0且△=（k+1）2-4k•≥0
∴k≥-且k≠0．
（2）不存在．
設方程的兩根是x₁，x₂．x₁x₂=≠0，
∴+==0．
∴x₁+x₂=0.，
∴k+1=0
k=-1＜-．
∴滿足條件的實數k不存在．
（3）y=（k+1）（k+3）=-k²-4k-3=（k+2）²+1，
∴對稱軸為k=-2，
∵k≥-且k≠0
∴k=-時有最大值y=（-+2）²+1=．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式及二次函數的最值的知識，知識點較多，難度適中．