Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD、AD上，則AP+PQ最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設BE=x，則DE=3x，

∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，

∴△ABE∽△DAE，

∴AE2=BEDE，即AE2=3x2，

∴AE= x，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2，即32=（ x）2+x2，解得x= ，

∴AE= ，DE= ，BE= ，

∴AD=3 ，

如圖，設A點關于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，

則A′A=2AE=3 =AD=A′D

∴△AA′D是等邊三角形，

∵PA=PA′，

∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，

又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，

∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE= ，

故答案是： ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．