Question

設計建造一條道路，路基的橫斷面為梯形ABCD，如圖（單位：米）．設路基高為h，兩側的坡角分別為α和β，已知h=2，α=45°，tanβ=

1

2

，CD=10．
（1）求路基底部AB的寬；
（2）修筑這樣的路基1000米，需要多少土石方？

Answer 1

分析：（1）分別過D、C作下底AB的垂線，設垂足為E、F．在Rt△ADE和Rt△BCF中，可根據h的長以及坡角的度數或坡比的值，求出AE、BF的長，進而可求得AB的值．
（2）根據（1）得出的梯形下底寬，可求出梯形的面積，進而可求出需要多少土石方．

解答：解：（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F．
Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2，
∴AE=DE=h=2．
Rt△BCF中，tanβ=

1

2

，CF=h=2，
∴BF=2CF=4．
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16．

（2）S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•h=

1

2

×（10+16）×2=26．
因此所需的土石方數是：26×1000=26000（立方米）．

點評：坡度、坡角問題通常要轉換為解直角三角形的問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形．