Question

如圖所示：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，∠ADC=120°．
（1）試探討線段AC與BC的位置關(guān)系；
（2）若AD=4，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形性質(zhì)求出∠DAB=∠CBA=60°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB、和∠ACB即可；
（2）過C作CE∥AD交AB于E，作CF⊥AB于F，證菱形ADCE，推出CE=CB，得到等邊三角形CEB，根據(jù)勾股定理求出高CF即可．

解答：解：（1）線段AC與BC的位置關(guān)系是：AC⊥BC，
理由是：∵等腰梯形ABCD，∠ADC=120°，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
又由AD=DC，∠ADC=120°，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC．

（2）過C作CE∥AD交AB于E，
∵DC∥AB，CE∥AD，AD=DC，
∴四邊形ADCE是菱形，
∴AD=CE=4，
又∠CBA=60°，△CBE為等邊三角形，
作CF⊥AB于F，
∴CF=

42-22

=2

3

，
則梯形ABCD的面積為

(4+8)×2 3

2

=12

3

cm^2，
答：梯形ABCD的面積是12

3

cm²．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．