Question

將一塊a×b×c的長方體鐵塊（如圖1所示，其中a＜b＜c，單位：cm）放入一長方體（如圖2所示）水槽中，并以速度v（單位：cm³/s）勻速向水槽注水，直至注滿為止．已知b為8cm，水槽的底面積為180cm²．若將鐵塊b×c面放至水槽的底面，則注水全過程中水槽的水深y（cm）與注水時間t（s）的函數圖象如圖3所示（水槽各面的厚度忽略不計）．
（1）水槽的深度為

 

cm，a=

 

cm；
（2）注水速度v及c的值；
（3）將鐵塊的a×b面、a×c面放至水槽的底面，試分別求注水全過程中水槽的水深y（cm）與注水時間t（s）的函數關系及t的取值范圍，并畫出圖象（不用列表）．

Answer 1

分析：（1）直接根據圖3可知，0-21s時由于鐵塊在水槽里，水面上升的速度快，故可得a值；21-66s時，水淹沒鐵塊后一直到水注滿，故可得水槽深度．
（2）由（1）可知注水的時間和高度，分別用“水槽高度是5cm時的體積=鐵塊體積+注水21s時水的體積”“水槽高度是10cm時的體積=鐵塊體積+注水66s時水的體積”作為相等關系類方程組，求解即可．
（3）由（2）可知：①以a×b面為底面時，鐵塊高度大于水槽高度，設注滿水的時間為t₁s，列式為180×10=5×8×10+20t₁，先求得時間t₁，可得到自變量取值范圍，再根據“水槽高度是ycm時的體積=鐵塊體積+注水ts時水的體積”作為相等關系列方程，整理即可求解；②以a×c面為底面時，鐵塊高度小于水槽高度，設水剛至鐵塊頂部的時間為t₂s，同①中方法先求得t₂，再列方程表示出y，t之間的關系整理即可．

解答：解：（1）根據圖3可知，分段函數的連接出坐標是（21，5），即21s時，水面高度是5cm，即a=5；函數圖象的末尾是（66，10），即66s時，水注滿水槽，故水槽深度是10cm．
故填空依次為：10，5（2分）

（2）由題意

180×5=5×8×c+21v 180×10=5×8×c+66v

（3分）
解得v=20，c=12
即注水速度為20cm³/s，c=12cm．（4分）

（3）①以a×b面為底面時，
∵c=12＞10，即此時鐵塊高度大于水槽高度
設注滿水的時間為t₁s
∴180×10=5×8×10+20t₁解得t₁=70s（5分）
∵（180-5×8）y=20t
∴y=

1

7

t（0≤t≤70）（6分）
（畫出圖象）（7分）

②以a×c面為底面時
∵b=8＜10，即此時鐵塊高度小于水槽高度
∴注滿水時所用時間為66s（8分）
設水剛至鐵塊頂部的時間為t₂s
∴180×8=5×8×12+20t
解得t₂=48（9分）
當0≤t≤48時，（180-5×12）y=20t，即y=

1

6

t（10分）
當48＜t≤66時，180（y-8）=20（t-48），即y=

1

9

t+

8

3

即y=

1 6 t，(0≤t≤48) 1 9 t+ 8 3 ．(48＜t≤66)

．（11分）
（畫出圖象）（12分）

點評：本題根據實際問題考查了一次函數的運用和一次函數圖形的作法，在此題中作圖關鍵是聯系實際的變化，確定拐點．