Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線DE與⊙O相切.
理由如下：
連接OD，

∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA.
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB="ED."
∴∠B=∠EDB.
∵∠C= ，
∴∠A＋∠B＝ .
∴∠ODA＋∠EDB＝ .
∴∠ODE＝ － ＝ .
∴直線DE與⊙O相切.
（2）解：解法一：
連接OE，
設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x.
∵∠C=∠ODE = ，
∴ .
∴ .
∴ .
即DE= .
解法二：
連接DM，

∵AM是直徑，
∴∠MDA＝ ，AM=4.
又∵∠C= ，
∴ ,
.
∴ , ∴AD=2.4.
∴BD=10-2.4=7.6.
∴BF= .
∵EF⊥BD，∠C= ，
∴ .
∴ , BE= .
∴DE= .
【解析】（1）要證直線DE與⊙O相切，就需連接OD，根據直角三角形兩銳角互余得出∠A＋∠B＝ 90 ° ，再根據等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質得出∠A=∠ODA，∠B=∠EDB，即可證得∠ODE是直角，從而得出結論。
（2）連接OE，設DE=x，分別表示出BE、CE的長，再利用勾股定理求出x的值，即可得出DE的長；或連接DM，先利用勾股定理求出AB的長，再利用解直角三角形即可求出結果。