Question

以長為2的線段為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上，如圖所示．
（1）求AM、DM的長；
（2）求證：AM²=AD•DM．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PD，根據AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）計算的數據進行證明．

解答：（1）解：在Rt△APD中，PA=

1

2

AB=1，AD=2，
∴PD=

PA2+AD2

=

5

，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=

5

-1，
DM=AD-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；

（2）證明：∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，AD•DM=2（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM．

點評：本題考查了正方形的性質及勾股定理的運用．關鍵是由勾股定理，正方形的邊長相等，表示相關線段的長度．