Question

如圖已知E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若∠BAC=90°，且BE=AF，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形性質得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根據平行四邊形的判定推出即可．
（2）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得AE=EC，即平行四邊形AECF的鄰邊AE=EC，易證四邊形AECF是菱形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

（2）∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=EC，
∵AF=BE，
∴BE=CE，
又∵∠BAC=90°，
∴AE=

1

2

BC=EC，
又∵四邊形AECF為平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．