Question

如圖，△ABC內接于圓O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點E，連接DC．
（1）求∠DBC的度數；
（2）若C為弧BD的中點，BC=6，EC=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理、補角的定義求得弧CD所對的圓心角∠DOC=80°；然后根據”同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半“來求∠DBC的度數；
（2）根據圓心角、弧、弦間的關系和圓周角定理證得△BCD為等腰直角三角形，根據勾股定理和圓的性質求得OB=OD=BD=6；然后在直角△EOC中，利用勾股定理求得OE=；最后根據相交弦定理來求AE的長度．
解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠BAC=2∠A=100°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．
∴∠COD=80°，
∴∠DBC=∠DOC=40°，即∠DBC的度數是40°；

（2）∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°．
又∵C為弧BD的中點，
∴BC=DC，
則在等腰直角△BCD中，BC=6，BD=6，OC=OB=BD=3，
∴在直角△EOC中，EC=5，根據勾股定理知OE===，
∴BE=OB+OE=3+，DE=OD-OE=3-，
∵AE•EC=DE•BE，
∴AE===，即AE的長為．
點評：本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦間的關系等．解答（2）題時，也可以利用△ABE∽DCE的對應邊成比例來求AE的長度．