Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動點P、Q同時從點A出發，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．

（1）在點P、Q運動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關系，并說明理由；
（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．
①當t為何值時，點P、M、N在一直線上？
②當點P、M、N不在一直線上時，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） 若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝2t. 則 ＝＝，
又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，
又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分  
當5﹤t≤10時，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考慮一種情況即可） 
∴ 在點P、Q運動過程中，始終有PQ⊥AC.
（2）① 如圖，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，
QM＝20－4t.
由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝
解得t＝，∴ 當t＝時，點P、M、N在一直線上. …………………………8分 
② 存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.
設l交AC于H.
如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分

如圖2，當點N在CD上時，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .
故 當t＝2或 時，存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12分

略