Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，過點B作MN∥AC，D是射線BA上的動點，射線DC繞點D逆時針旋轉60°得射線DE，DE交MN于E．

（1）如圖①，當D為AB中點時，求證：BD+BE＝BC；

（2）如圖②，當D在BA延長線上時，（1）的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出BC，BD，BE三條線段的數量關系，并說明理由；

（3）當∠DCA＝15°時，直接寫出BD，BE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論不成立．BD﹣BE＝BC，見解析；（3）BD＝（1+）BE或BD＝（+）BE

【解析】

（1）如圖1中，連接EC．首先證明C，D，B，E四點共圓，推出△DCE是等邊三角形，再證明△ACD≌△BCE（SAS）可得結論．

（2）如圖2中，結論不成立．BD﹣BE＝BC．證明方法類似（1），利用全等三角形的性質解決問題即可．

（3）分兩種情形：①如圖③﹣1中，當點D在線段AB上時，結論：BD＝（1+）BE．②如圖③﹣2中，當點D在BA的延長線上時，結論：BD＝（+）BE，利用參數解直角三角形解決問題即可．

（1）證明：如圖1中，連接EC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴CA＝CB＝AB，∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠CBE＝∠ACB＝60°，

∵∠CDE＝60°，

∴∠CDE＝∠CBE＝60°，

∴C，D，B，E四點共圓，

∴∠CED＝∠CBD＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵BC＝AB＝AD+BD，

∴BC＝BE+BD．

（2）解：如圖2中，結論不成立．BD﹣BE＝BC．

理由：連接EC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴CA＝CB＝AB，∠ACB＝∠ABC＝∠CAB＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠EBA＝∠CAB＝60°，

∴∠EBC＝120°，

∵∠CDE＝60°，

∴∠CDE+∠CBE＝180°，

∴C，D，E，B四點共圓，

∴∠CED＝∠CBD＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE＝∠ACB＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵BC＝AB＝BD﹣AD

∴BC＝BD﹣BE．

（3）解：①如圖③﹣1中，當點D在線段AB上時，結論：BD＝（1+）BE．

理由：作BH⊥DE于H，在DE上取一點K，使得DK＝BK，連接BK．

∵∠ACD＝15°，∠A＝∠CDE＝60°，∠BDC＝∠A+∠ACD，

∴∠BDE＝∠ACD＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠CBN＝∠ACB＝60°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠DBE＝120°，∠DEB＝45°，

∵BH⊥DE，

∴∠BHE＝∠BHD＝90°，

∴∠HBE＝∠HEB＝45°，

∴BH＝EH，設BH＝EH＝x，則BE＝=x，

∵DK＝KB，

∴∠KDB＝∠KBD＝15°，

∴∠BKE＝∠KDB+∠KBD＝30°，

∴BK＝DK＝2x，KH＝BKcos30°=x，

∴BD＝＝＝（）x，

∴＝＝1+，

∴BD＝（1+）BE．

②如圖③﹣2中，當點D在BA的延長線上時，結論：BD＝（+）BE，

理由：作EH⊥AB于H．

在DB上取一點G，使得DG＝EG，連接EG．

設EH＝m．

同法可證：∠EDB＝15°，∠EBH＝60°，

∴∠EGB＝30°，

則有DH＝DG+GH=EG+GH=EH÷sin30°+EH÷tan30°=2m+m，EB=EH÷sin60°＝m，

∴＝＝+

∴BD＝（+）BE，