Question

【題目】已知二次函數y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．

（1）求證：此二次函數的圖象與x軸總有交點；

（2）如果此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，求正整數m的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）正整數m的值是1或2．

【解析】

試題分析：（1）令y=0，使得二次函數變為一元二次方程，然后求出方程中△的值，即可證明結論；

（2）令y=0，使得二次函數變為一元二次方程，然后對方程分解因式，又因此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，從而可以求得符合要求的正整數m的值．

解：（1）證明：∵二次函數y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴當y=0時，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

△=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0

∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有兩個實數根，

即二次函數y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）的圖象與x軸總有交點；

（2）∵二次函數y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0），

∴當y=0時，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1），

∴，

又∵此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，

∴正整數m的值是：1或2，

即正整數m的值是1或2．