Question

（2010•浦東新區二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AM=DM，
求證：（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求證：BM⊥CE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形的對邊相等且平行，可得AB∥CD，AB=CD，根據平行線的性質可得：∠E=∠ECD，又因為AM=DM，∠AME=∠DMC，可證得△AEM≌△DCM，即可證得AE=AB；
（2）由AD∥BC，可得∠AMB=∠MBC，又因為BM平分∠ABC，可得∠AMB=∠ABM，即可得AB=AM，因為AE=AB，所以AB=AM=AE，易得∠BME=90°，即可證得BM⊥CE．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠E=∠ECD，
又∵AM=DM，∠AME=∠DMC，
∴△AEM≌△DCM，
∴CD=AE，
∴AE=AB；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠MBC，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，
∴AM=AE，
∴∠E=∠AME，
∵∠E+∠EBM+∠BMA+∠AME=180°，
∴∠BME=90°，
即BM⊥CE．
點評：此題考查了平行四邊形的判定：平行四邊形的對邊平行且相等．還考查了等腰三角形的判定與性質．解此題時要注意當有平行線與角平分線出現時，一般會出現等腰三角形．