Question

19、在坐標平面上，橫縱坐標都是整數的點稱為整點，而頂點均為整點的多邊形稱為整點多邊形，求證：整點凸五邊形必可以找到一個四邊形至少覆蓋5個整點．

Answer 1

分析：由于整點坐標的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），則五個頂點中必須有兩個點屬于同一類，同類的兩點的中點也是整點，加上其余3個頂點中的兩個可證結論成立．

解答：解：設整點凸五邊形為ABCDE，而整點坐標的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），
故五個頂點中必須有兩個點屬于同一類，
不妨設這兩點為M、N，則線段MN的中點Z也是整點．
由于五邊形五個頂點中除M、N外還有3個頂點，
∴在直線MN的同一側至少有兩個頂點X、Y，則以M、N、X、Y為頂點可作一個四邊形至少覆蓋5個整點M、N、X、Y、Z．

點評：本題通過坐標平面考查了整點坐標的奇偶性，注意整點坐標的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶）．