Question

探究題．
如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分線BD于D，AC，BD交于E．AF為BC中線，交BE于G．
（1）求證：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必證明．

Answer 1

（1）證明：延長CD交BA延長線于H．
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠CDB=90°，又∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴∠ABD=∠ACD，即∠ABE=∠ACH．
在△ABE與△ACH中，

∴△ABE≌△ACH（ASA），
∴BE=CH；
∵BD平分∠ABC，BD⊥CH，
∴CH=2CD，
∴BE=2CD；

（2）解：CE＜BG．
分析：（1）延長CD與BA延長線交于H．BD為角平分線．構建全等三角形△ABE≌△ACH（ASA），然后由全等三角形的對應邊相等的性質、等腰三角形的“三合一”的性質證得結論即可；
（2）根據圖示直接回答．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質．本題通過作輔助線“延長CD交BA延長線于H”構建全等三角形來證明的．