Question

7．如圖，點P是△ABC外的一點，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，則∠BPC的度數為（　　）

• A． 25°
• B． 30°
• C． 35°
• D． 40°

Answer 1

分析 由HL證得Rt△BDP≌Rt△BFP，Rt△CEP≌Rt△CFP，得出∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠FCP；根據三角形外角的性質，可得∠ABC+∠BAC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠FCP，根據等量代換，即可得出結果．

解答 解：在Rt△BDP和Rt△BFP中，$\left\{\begin{array}{l}{PD=PF}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDP≌Rt△BFP（HL），
∴∠ABP=∠CBP，
在Rt△CEP和Rt△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），
∴∠ACP=∠FCP，
∵∠ACF是△ABC的外角，
∴∠ABC+∠BAC=∠ACF，
兩邊都除以2，得：$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠ACF，
即∠PBC+$\frac{1}{2}$∠BAC=∠FCP，
∵∠PCF是△BCP的外角，
∴∠PBC+∠BPC=∠FCP，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
故答案為：35°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質等知識；找出各角的關系并進行等量代換是解決問題的關鍵．