Question

2．把一根長80cm的鐵絲分成兩個部分，分別圍成兩個正方形．
（1）能否使所圍的兩個正方形的面積和為250cm²，并說明理由；
（2）能否使所圍的兩個正方形的面積和為180cm²，并說明理由；
（3）怎么分，使圍成兩個正方形的面積和最小？

Answer 1

分析 （1）設其中一個正方形的邊長為x cm，則另一個正方形的邊長為（20-x）cm，就可以表示出這兩個正方形的面積，根據兩個正方形的面積之和等于250cm²建立方程求出其解即可；
（2）根據題意建立方程x²+（20-x）²=180，再判定該一元二次方程是否有解即可；
（3）設所圍面積和為y cm²，則有y=x²+（20-x）²，再求二次函數最值即可．

解答 解：（1）設其中一個正方形的邊長為x cm，則另一個正方形的邊長為（20-x）cm，
由題意得：x²+（20-x）²=250，
解得x₁=5，x₂=15，
當x=5時，4x=20，4（20-x）=60，
當x=15時，4x=60，4（20-x）=20，
答：能，長度分別為20cm與60cm；

（2）x²+（20-x）²=180，
整理：x²-20x+110=0，
∵b²-4ac=400-440=-40＜0，
∴此方程無解，即不能圍成兩個正方形的面積和為180cm²；

（3）設所圍面積和為y cm²，
y=x²+（20-x）²，
=2 x²-40x+400
=2（ x-10）²+200，
當x=10時，y最小為200.4x=40，4（20-x）=40，
答：分成40cm與40cm，使圍成兩個正方形的面積和最小為200 cm．

點評 本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，求二次函數最值的方法，解答本題時找到等量關系建立方程和運用根的判別式是關鍵．