Question

某廣告公司設計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米1000元．設矩形一邊長為x米，面積為S平方米．
（1）求出S與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出這個費用．
（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請你按要求設計，并計算出可獲得的設計費約是多少元？（精確到元）
（參考資料：若矩形的長為a、寬為b，且滿足a²=b（a+b），則稱這樣的矩形為黃金矩形．≈2.2）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據周長和邊長，求出矩形的寬，繼而可得出S與x的函數關系式；
（2）當面積最大時設計費用最高，用配方法求出S的最大值，并求最高費用即可；
（3）根據矩形長為x，則寬為6-x，代入a²=b（a+b），求出長和寬，然后求出S，繼而可求出設計費．
解答：解：設矩形長為x，則寬為6-x，
S=x（6-x）=-x²+6x，
則S與x之間的函數關系式為：S=-x²+6x（0＜x＜6）；

（2）S=-（x-3）²+9，
開口向下，故S有最大值，
當x=3是S取最大值9，
此時費用最多為9×1000=9000（元），
故當矩形的長為3米，寬為3米時，費用最多為9000元；

（3）由題意得：x²=（6-x）×6，
x²+6x-36=0，
解得：x=3-3或x=-3-3（不合題意，舍去），
此時寬為9-3，
S=（3-3）（9-3）=36-72=7.2，
1000S=7.2×1000=7200，
可獲得的設計費7200元．
點評：本題主要考查二次函數的應用，由面積公式求出面積與邊長之間的函數關系式，用二次函數解決實際問題，難度一般．