Question

8．如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點D是BC的中點，點F在線段AD上，DF=CD，BF交CA于E點，過點A作DA的垂線交CF的延長線于點G，下列結論：①CF²=EF•BF；②AG=2DC；③AE=EF；④AF•EC=EF•EB．其中正確的結論有①②④．

Answer 1

分析 根據等邊對等角的性質求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根據等邊對等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根據直角三角形的性質求出△BCF和△CEF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到①正確；根據互余關系求出∠G=∠ACG，再根據等角對等邊的性質求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=BC，從而判斷②正確；根據角的互余關系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根據∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，從而得到AE≠EF，判斷出③錯誤；根據根據直角三角形的性質求出△CEF和△BCE相似，根據相似三角形的對應邊成比例列式求出EC²=EF•EB，再根據全等三角形對應邊相等可得AF=CE，從而判斷出④正確．

解答 解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，點D是BC的中點，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴CF²=EF•BF，故①正確；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠BCE=90°}\\{∠CBE=∠G}\\{AG=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△AGF（AAS），
∴AG=BC，
∵點D是BC的中點，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正確；
根據角的互余關系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③錯誤；
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴$\frac{EC}{EB}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴EC²=EF•EB，
∵△BCE≌△AGF（已證），
∴AF=EC，
∴AF•EC=EF•EB，故④正確；
所以，正確的結論有①②④．
故答案為①②④．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，根據等角對等邊以及等邊對等角的性質求出AG=AC，然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關鍵，也是本題的難點．