Question

蜘蛛和蒼蠅在一個圓柱面上，這個圓柱的高為10，底面的半徑為4，如圖所示，AA′、BB′是圓柱的兩條母線，蜘蛛在BB'上的P點，PB′=2，蒼蠅在AA′上的Q點，QA=3，蜘蛛沿圓柱表面爬向蒼蠅，求最短路程為多少？

Answer 1

分析：要求不在同一個平面內的兩點之間的最短距離，首先要把兩個點展開到一個平面內，然后分析展開圖形中的數據，根據勾股定理即可求解．

解答：解：將曲面沿AA₁展開，如圖所示，過Q作QT⊥BB₁于T，
在Rt△PQT中，∠PTQ=90°，TQ=10-2-3=5（cm），TP=

1

2

×2π×4=4π（cm），
由勾股定理，得PQ=

TQ2+TP2

=

52+16π2

=

25+16π2

（cm）．
答：蜘蛛所走的最短路線是

25+16π2

cm．

點評：本題考查了平面展開--最短路徑問題．由于蜘蛛與蒼繩均屬于玻璃容器的外側，因而蜘蛛不能直接到達點P，需沿側面爬行．為此，可將曲面沿AA₁展開，顯然蜘蛛所走的最短的路線即為線段PQ，從而可構造直角三角形，用勾股定理求出PQ的長．