Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，求

CA+CB

CD

的值．

Answer 1

分析：首先連接AD、DB；作BE∥CD交AC延長線于E．由弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，可證得△BCE與△ABD是等邊三角形，繼而證得△ABE≌△DBC（SAS），則可得CD=AE=AC+CE=CA+CB，繼而求得答案．

解答：解：連接AD、DB；作BE∥CD交AC延長線于E．
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，
∴∠E=∠ACD=60°，∠ECB=60°，
∴△BEC為等邊三角形，
∴BE=EC=CB，
∵∠ADB=180°-∠ACB=∠ECB=60°，AD=BD，
∴△ADB為等邊三角形，
∴AD=DB=AB，
在△ABE與△DBC中，

AB=DB ∠BAE=∠BDC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴CD=AE=AC+CE=CA+CB，
∴

CA+CB

CD

=1．

點評：此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．