Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，點P從點C出發，在線段CB上以每秒1cm的速度向點B勻速運動．與此同時，點M從點B出發，在線段BA上以每秒lcm的速度向點A勻速運動．過點P作PN⊥BC，交AC點N，連接MP，MN．當點P到達BC中點時，點P與M同時停止運動．設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）當t為何值時，PM⊥AB．
（2）設△PMN的面積為y（cm2），求出y與x之間的函致關系式．
（3）是否存在某一時刻t，使S△PMN：S△ABC=1：5？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點A作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∠ADB=90°，

∴BD=CD=6，

∴ =8，

∵MP⊥AB，

∴∠BMP=∠ADB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BMP∽△BDA，

∴ ，

∴ 解得t= ，

∴當t為 時，PM⊥AB

（2）

解：過點M作ME⊥NP于E，交AD于F．

∵BC⊥NP，

∴NP∥AD，

∴∠ADP=∠C，

∵∠C=∠NPC，

∴△BMP∽△BDA，

∴ ，

∴ ，

∴PN= ，同理MF= ，

∵∠BPN=∠ADP=∠MEP=90°，

∴四邊形DPEF是矩形，

∴EF=DP=6﹣t，

∴ME=MF+EF= （10﹣t）+6﹣t=12﹣ ，

∴S△MPN= PNME= =﹣ +8t，（0＜t≤6）

（3）

解：存在．

由題意：﹣ +8t= × ×12×8，

解得到t= 或6．

所以t= 秒或6秒時，S△PMN：S△ABC=1：5．

【解析】（1）根據△BMP∽△BDA得 即可列出方程解決．（2）根據△BMP∽△BDA得 求出PN，MF，在證明四邊形DPEF是矩形得到ME即可．（3）代入（2）即可用方程解決．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似圖形和相似三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．