Question

【題目】如圖，二次函數y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A，B，CD是線段OB上的一動線段，且CD=2，過點C，D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F，E，連接EF．
（1）點A的坐標為 ， 線段OB的長=；
（2）設點C的橫坐標為m ①當四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；
②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）；5
（2）解：①∵點C的橫坐標為m，且CF∥DE∥y軸，

∴C（m，m），F（m，m2﹣4m），

又∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），

∴CF=m﹣（m+ ），DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

∵當四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，

∴m﹣（m+ ）=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

解得m= ；

②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，

∴AC=DG，

作點A關于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，

∴當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，此時AC+AD最短，

∵A（4，0），AG=CD=2，

∴A'（0，4），G（4+ ， ），

設直線A'G的解析式為y=kx+b，則

，解得 ，

∴直線A'G的解析式為y=﹣ x+4，

解方程組 ，可得 ，

∴D（2+ ，2+ ），

∵CD=2，且CD是線段OB上的一動線段，

∴C（2﹣ ，2﹣ ），

∴點C的橫坐標m=2﹣ ，

由A（4，0），C（2﹣ ，2﹣ ）可得，AC= =3，

由A（4，0），D（2+ ，2+ ）可得，AD= =3，

又∵CD=2，

∴△ACD的周長=CD+AC+AD=2+3+3=8，

故當m=2﹣ 時，△ACD的周長最小，這個最小值為8．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x， 解得x1=0，x2=4，
∴A（4，0），
解方程組 ，可得
或 ，
∴B（5，5），
∴OB= =5 ．
所以答案是：（4，0），5 ；
（1）根據y=x2﹣4x中，令y=0，則0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程組 ，可得B（5，5），進而得出OB的長；（2）①根據C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m+ ），根據D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），可得DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，最后根據當四邊形CDEF是平行四邊形時，CF=DE，求得m的值即可；②先過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點A關于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D=AD，根據當A'，D，G三點共線時，A'D+DG=A'G最短，可得此時AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為y=﹣ x+4，解方程組可得D（2+ ，2+ ），C（2﹣ ，2﹣ ），最后根據兩點間距離公式，求得△ACD的周長的最小值．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．