Question

（2012•青島模擬）同學們已經認識了很多正多邊形，現以正六邊形為例再介紹與正多邊形相關的幾個概念．如正六邊形ABCDEF各邊對稱軸的交點O，又稱正六邊形的中心，其中OA稱正六邊形的半徑，通常用R表示，∠AOB稱為中心角，顯然．提出問題：正多邊形內任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關系？
探索發現：
（1）為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內任意一點，P到△ABC各邊距離分別為h₁、h₂、h₃ ，確定h₁+h₂+h₃的值與△ABC的半徑R及中心角的關系．
解：設△ABC的邊長是a，面積為S，顯然S=

1

2

a（h₁+h₂+h₃）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個全等的等腰三角形，過點O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos

1

2

∠AOB=Rcos

1

2

×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin

1

2

∠AOB=Rsin

1

2

×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S_△AOB=

1

2

AB×OM=

1

2

×2Rsin60°•Rcos60°=R²sin60°cos60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3R²sin60°cos60°
∴

1

2

a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
即：

1

2

×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內任意一點，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，參照（1）的探索過程，確定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結論
正六邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=

6Rcos30°

正八邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=

8Rcos22.5°

正n邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和  h₁+h₂+…+h_n=

nRcos

180°

n

．

Answer 1

分析：（2）設正五邊形的邊長是a，面積為S，得到S=

1

2

a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅），O為正五邊形的中心，連接OA、OB、OC、OD、OE，它們將五邊形分成五個全等的等腰三角形，過點O作OQ⊥AB，垂足為Q，Rt△AOQ中表示出OQ、AQ、AB后即可表示出h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值．
（3）利用上題總結的規律表示出其他的正多邊形即可．

解答：解：（2）設正五邊形的邊長是a，面積為S，顯然S=

1

2

a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）
O為正五邊形的中心，連接OA、OB、OC、OD、OE，它們將五邊形分成五個全等的等腰三角形，
過點O作OQ⊥AB，垂足為Q，Rt△AOQ中，易知
OQ=OAcos∠AOQ=Rcos

1

2

∠AOB=Rcos

1

2

×72°=Rcos36°，
AQ=OAsin∠AOQ=Rsin

1

2

∠AOB=Rsin

1

2

×72°=Rsin36°，
∴AB=a=2AQ=2Rsin36°，
∴S_△AOB=

1

2

AB×OQ=

1

2

×2Rsin36°•Rcos36°=R²sin36°cos36°，
∴S_{正五邊形ABCDE}=5S_△AOB=5R²sin36°cos36°，
∴

1

2

a（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）=5R²sin36°cos36°，
即：

1

2

×2Rsin36°（h₁+h₂+h₃+h₄+h₅）=5R²sin36°cos36°，
∴h₁+h₂+h₃+h₄+h₅=5Rcos36°；

（3）正六邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=6Rcos30°，
正八邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和 h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆+h₇+h₈=8Rcos22.5°，
正n邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和 h₁+h₂+…+h_n=nRcos

180°

n

．

點評：本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是熟知正多邊形各元素與圓之間的關系．