Question

已知，a1=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，…依據上述規律，猜想a_n=

n+1

(n+1)2-1

，并簡要證明你的猜想．

Answer 1

分析：根據上述規律猜想：a_n=

n+1

(n+1)2-1

，理由為：由各項的第一個加數總結規律為：

1

n(n+1)(n+2)

，第二個加數總結規律為

1

n+1

，通分并利用同分母分式的加法法則計算，約分后將分母變形即可得證．

解答：解：猜想：a_n=

n+1

(n+1)2-1

，理由為：
證明：由題意：

1

n(n+1)(n+2)

+

1

n+1

=

1+n(n+2)

n(n+1)(n+2)

=

(n+1)2

n(n+1)(n+2)

=

n+1

n(n+2)

=

n+1

(n+1)2-1

．

點評：此題考查了分式的混合運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．