Question

如圖，正方形MNPQ的頂點在三角形ABC的邊上，當邊BC=a與高AD=h滿足什么條件時，正方形MNPQ的面積是三角形ABC面積的一半？

Answer 1

分析：設正方形的邊長是x，由相似三角形得

x

a

=

h-x

h

，解得x=

ah

a+h

．根據題意(

ah

a+h

) 2=

1

4

ah，化簡得（a-h）²=0；即AD=BC（也可以觀察△ADC中只有當P是AC中點時，矩形面積是三角形面積的一半，這時P、Q是AC、AB的中點））．

解答：解：當a=h時，正方形面積是原三角形面積的一半，
設正方形的邊長是x，由△AQP∽△ABC得

x

a

=

h-x

h

，
解得x=

ah

a+h

．根據題意(

ah

a+h

) 2=

1

4

ah，
化簡得（a-h）²=0；即AD=BC．
∴當a=h時，正方形面積是原三角形面積的一半，

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質這一知識點的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用相似三角形的相比．屬于中檔題．