Question

已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6．
（1）如圖，點D為邊AC上任意一點，點E在邊AB上，且△ADE與△ABC相似．
①請在圖中畫出所有符合題意的△ADE（不必尺規作圖）；
②若AD=m，試用m的代數式表示AE的長；
（2）點M、N分別在邊AB、BC上，且△BMN與△ABC相似，若AM=x，試求當符合題意的△BMN唯一時，x的取值范圍（請寫出必要的解題過程）．

Answer 1

分析：（1）①過點D作BC的平行線，∠AED=∠ABC，做∠AED=∠ACB，這兩種情況．
②利用相似三角形對應邊成比例，將AD=m代入即可．
（2）當MN∥AC時，△BMN與△ABC相似總是存立，只要求出點N與點C重合，且△BMN∽△BCA時AM的長即可，當△BMN∽△BCA（N與C重合）時，有∠BMC=∠ACB，當符合題意的△BMN唯一時，x的取值范圍是0≤x＜

11

6

．

解答：解：（1）①如圖所示
，
②情況一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=

3

2

m；（1分）
情況二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ACB，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

2

3

m；（1分）

（2）∵當MN∥AC時，△BMN與△ABC相似總是存立，
∴只要求出點N與點C重合，且△BMN∽△BCA時AM的長即可．（1分）
當△BMN∽△BCA（N與C重合）時，有∠BMN=∠ACB，則

BC

BM

=

BA

BC

，
即

5

6-x

=

6

5

，
∴x=

11

6

（1分）
∴當符合題意的△BMN唯一時，x的取值范圍是0≤x＜

11

6

．（2分）

點評：本題關鍵是要懂得利用對應角相等判定相似三角形，然后利用相似三角形的對應邊成比例的性質來求解的．尤其是第（1）比較容易，（2）稍微有點難度．