Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求證：AB=BC+CD．

Answer 1

分析：過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質可知，CD=DE，由全等三角形的判定定理可得△BCD≌△BED，故可得出BC=BE，再根據△ABC是等腰直角三角形可知∠A=45°，故△ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，所以AB=BE+AE=BC+CD．

解答：證明：過點D作DE⊥AB于點E，
∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE，
在△BCD與△BED中，

∠DBC=∠DBA ∠C=∠BED=90° BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（AAS），
∴BC=BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=CD，
∴AB=BE+AE=BC+CD．

點評：本題考查的是角平分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．