Question

已知：關于x的方程x²+kx+k-1=0
（1）求證：方程一定有兩個實數根；
（2）設x₁，x₂是方程的兩個實數根，且（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先計算出△=k²-4（k-1）=k²-4k+4=（k-2）²，利用非負數的性質得到△≥0，然后根據△的意義即可得到結論；
（2）由于（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，則x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，當x₁+x₂=0，根據根與系數的關系得到-k=0，解得k=0；當x₁-x₂=0，根據△的意義得到△=（k-2）²=0，解得k=2．

解答：（1）證明：△=k²-4（k-1）
=k²-4k+4
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴方程一定有兩個實數根；
（2）根據題意得x₁+x₂=-k，x₁•x₂=k-1，
∵（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
當x₁+x₂=0，則-k=0，解得k=0，
當x₁-x₂=0，則△=0，即（k-2）²=0，解得k=2，
∴k的值為0或2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．