Question

如圖，以矩形ABCD的邊AO，CO所在直線建立坐標系，已知點B的坐標為（-

3

，1），將矩形ABCO繞點O順時針旋轉至矩形DEFO位置，使點B恰好落在y軸上的點E處，設BC，DO的交點為Q．
（1）求點Q的坐標；
（2）若雙曲線y=

k

x

（x＜0）經過點Q，那么它是否經過矩形ABCO的對稱中心M？請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題,矩形的性質,旋轉的性質,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題

分析：（1）易證△OCQ∽△ODE，只需運用相似三角形的性質求出QC，就可解決問題；
（2）運用待定系數法可求出雙曲線的解析式，然后只需求出點M的坐標，代入雙曲線的解析式進行驗證，就可解決問題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，B（-

3

，1），
∴∠BAO=∠OCB=90°，AO=

3

，AB=1．
根據旋轉的性質可得：
OD=OA=

3

，DE=AB=1，∠EDO=∠BAO=90°．
∵∠COQ=∠DOE，∠QCO=∠EDO=90°，
∴△OCQ∽△ODE，
∴

CQ

DE

=

OC

OD

，
∴

CQ

1

=

1

3

，
解得：CQ=

3

3

，
∴點Q的坐標為（-

3

3

，1）；

（2）雙曲線y=

k

x

（x＜0）不經過矩形ABCO的對稱中心M．
理由：∵雙曲線y=

k

x

（x＜0）經過點Q，
∴k=-

3

3

×1=-

3

3

，
∴雙曲線的解析式為y=-

3

3x

（x＜0）．
∵矩形ABCO的對稱中心為M，∴點M是OB的中點．
∵B（-

3

，1），∴M（-

3

2

，

1

2

），
當x=-

3

2

時，y=-

3

3×(- 3 2 )

=

2

3

≠

1

2

，
∴點M不在雙曲線y=-

3

3x

（x＜0）上．

點評：本題主要考查了用待定系數法求雙曲線的解析式、相似三角形的判定與性質、矩形的性質、旋轉的性質、雙曲線上點的坐標特征等知識，有一定的綜合性，需要注意的是：根據線段長度求點的坐標時，要根據該點在坐標系中的位置確定橫坐標（或縱坐標）的符號．