Question

【題目】問題探究：

（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）

（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程．

（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．

Answer 1

【答案】（1）螞蟻爬行的最短路程為5; （2）最短路程為;（3）螞蟻爬行的最短距離為

【解析】

（1）螞蟻爬行的最短路程為圓柱側面展開圖即矩形的對角線的長度，由勾股定理可求得；

（2）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中的AA′的連線，可求得△PAA′是等邊三角形，則AA′=PA=4；

（3）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中點A到PA的距離．

（1）由題意可知：

在 中，

即螞蟻爬行的最短路程為5．

（2）連結則的長為螞蟻爬行的最短路程，設為圓錐底面半徑，為側面展開圖（扇形）的半徑，

則由題意得：

即

是等邊三角形

最短路程為

（3）如圖③所示是圓錐的側面展開圖，過作于點則線段的長就是螞蟻爬行的最短路程．

在Rt△ACP中，

∵∠P=60°，

∴∠PAC=30°

∴PC=PA=×4=2

∴AC==

螞蟻爬行的最短距離為