Question

【題目】已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，若E在直線AC上任意一點，DF⊥DE，交直線BC于F點．G為EF的中點，延長CG交AB于點H．

（1）若E在邊AC上．

①試說明DE=DF；

②試說明CG=GH；

（2）若AE=3，CH=5．求邊AC的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）AC=7或1．

【解析】

試題分析：（1）①連接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，證△ADE≌△CDF即可；②連接DG，根據直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；

（2）求出EF=5，根據勾股定理求出EC，即可得出答案．

試題解析：（1）①連接CD，∵∠ACB=90°，D為AB的中點，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵∠A=∠DCF，AD=CD，∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF；

②連接DG，∵∠ACB=90°，G為EF的中點，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G為EF的中點，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG．又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH；

（2）如圖，當E在線段AC上時，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE==4，∴AC=AE+EC=3+4=7；

如圖，當E在線段CA延長線時，AC=EC﹣AE=4﹣3=1，綜合上述：AC=7或1．